Проекция (геометрическая, алгебраическая) вектора на ось. Свойства проекций

Введение…………………………………………………………………………3

1. Значение вектора и скаляра………………………………………….4

2. Определение проекции, оси и координатой точки………………...5

3. Проекция вектора на ось……………………………………………...6

4. Основная формула векторной алгебры……………………………..8

5. Вычисление модуля вектора по его проекциям…………………...9

Заключение……………………………………………………………………...11

Литература……………………………………………………………………...12

Введение:

Физика неразрывно связана с математикой. Математика дает физике средства и приемы общего и точного выражения зависимости между физическими величинами, которые открываются в результате эксперимента или теоретических исследований.Ведь основной метод исследований в физике – экспериментальный. Это значит – вычисления ученый выявляет с помощью измерений. Обозначает связь между различными физическими величинами. Затем, все переводится на язык математики. Формируется математическая модель. Физика - есть наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности. Задача физики состоит в том, чтобы создать в нашем сознании такую картину физического мира, которая наиболее полно отражает свойства его и обеспечивает такие соотношения между элементами модели, какие существуют между элементами.

Итак, физика создает модель окружающего нас мира и изучает ее свойства. Но любая модель является ограниченной. При создании моделей того или иного явления принимаются во внимание только существенные для данного круга явлений свойства и связи. В этом и заключается искусство ученого - из всего многообразия выбрать главное.

Физические модели являются математическими, но не математика является их основой. Количественные соотношения между физическими величинами выясняются в результате измерений, наблюдений и экспериментальных исследований и лишь выражаются на языке математики. Однако другого языка для построения физических теорий не существует.

1. Значение вектора и скаляра.

В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они "скалярами" .

Они записываются либо буквами обычного шрифта, либо цифрами (а, б, t, G, 5, −7….). Скалярные величины могут быть положительными и отрицательными. В то же время некоторые объекты изучения могут обладать такими свойствами, для полного описания которых знание только числовой меры оказывается недостаточным, необходимо ещё охарактеризовать эти свойства направлением в пространстве. Такие свойства характеризуются векторными величинами (векторами). Векторы, в отличие от скаляров, обозначаются буквами жирного шрифта: a, b, g, F, С ….
Нередко вектор обозначают буквой обычного (нежирного) шрифта, но со стрелкой над ней:

Кроме того, часто вектор обозначают парой букв (обычно заглавных), причём первая буква обозначает начало вектора, а вторая - его конец.

Модуль вектора, то есть длину направленного прямолинейного отрезка, обозначают теми же буквами, как и сам вектор, но в обычном (не жирном) написании и без стрелки над ними, либо точно также как и вектор (то есть жирным шрифтом или обычным, но со стрелкой), но тогда обозначение вектора заключается в вертикальные черточки.
Вектор – сложный объект, который одновременно характеризуется и величиной и направлением.

Не бывает также положительных и отрицательных векторов. А вот равными между собой векторы быть могут. Это когда, например, aиb имеют одинаковые модули и направлены в одну сторону. В этом случае справедлива запись a = b. Надо также иметь в виду, что перед символом вектора может стоять знак минус, например, - с, однако, этот знак символически указывает на то, что вектор -с имеет такой же модуль, как и вектор с, но направлен в противоположную сторону.

Вектор -с называют противоположным (или обратным) вектору с.
В физике же каждый вектор наполнен конкретным содержанием и при сравнении однотипных векторов (например, сил) могут иметь существенное значение и точки их приложения.

2.Определение проекции, оси и координатой точки.

Ось – это прямая, которой придается какое–то направление.
Ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.

Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось. То есть, проекцией точки на ось является точка.

Координатой точки на данной оси называется число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.

3.Проекция вектора на ось.

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или

(нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси).

Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а x = х к − x н.

Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,

отрицательной, если величина х к меньше величины х н

и равной нулю, если х к равно х н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а x = а Cos α

То есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

4. Основная формула векторной алгебры.

Спроектируемвектор а на оси Х и Y прямоугольной системы координат. Найдем векторные проекции вектора а на эти оси:

а x = а x ·i, а y = а y ·j.

Но в соответствии справилом сложения векторов

а = а x + а y .

а = а x ·i + а y ·j.

Таким образом, мы выразили вектор через его проекции и орты прямоугольной системы координат (или через его векторные проекции).

Векторные проекции а x и а y называютсясоставляющими или компонентами вектора а. Операция, которую мы выполнили, называется разложением вектора по осямпрямоугольной системы координат.

Если вектор задан в пространстве, то

а = а x ·i + а y ·j + а z ·k.

Эта формула называется основной формулой векторной алгебры. Конечно, ее можно записать и так.

Определение 1. На плоскости параллельной проекцией точки А на ось l называется точка - точка пересечения оси l с прямой, проведенной через точку А параллельно вектору, задающему направление проектирования.

Определение 2. Параллельной проекцией вектора на ось l (на вектор) называется координата вектора, относительно базиса оси l, где точки и - параллельные проекции соответственно точек А и В на ось l (рис. 1).

Согласно определению имеем

Определение 3. если и базис оси l декартов, то есть, то проекция вектора на ось l называется ортогональной (рис. 2).

В пространстве определение 2 проекции вектора на ось остается в силе, только направление проектирования задается двумя неколлинеарными векторами (рис. 3).

Из определения проекции вектора на ось вытекает, что каждая координата вектора есть проекция этого вектора на ось, определяемую соответствующим базисным вектором. При этом направление проектирования задается двумя другими базисными векторами, если проектирование ведется (рассматривается) в пространстве, или другим базисным вектором, если проектирование рассматривается на плоскости (рис. 4).

Теорема 1. Ортогональная проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между положительным направлением оси l и, т. е.

С другой стороны

Из находим

Подставив АС в равенство (2), получим

Так как числа x и одного знака в обоих рассматриваемых случаях ((рис. 5, а) ; (рис. 5, б) , то из равенства (4) следует

Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать только ортогональную проекцию вектора на ось и поэтому слово «орт» (ортогональная) в обозначении будем опускать.

Приведем ряд формул, которые используются в дальнейшем при решении задач.

а)Проекция вектора на ось.

Если, то ортогональная проекция на вектор согласно формуле (5) имеет вид

в) Расстояние от точки до плоскости.

Пусть б - данная плоскость с нормальным вектором, M - данная точка,

d - расстояние от точки М до плоскости б (рис. 6).

Если N- произвольная точка плоскости б, а и - проекции точек Mи Nна ось, то

г) Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Пусть а и b- данные скрещивающиеся прямые, - перпендикулярный им вектор, А и В - произвольные точки прямых а и b соответственно (рис. 7), и - проекции точек Aи Bна, тогда

д) Расстояние от точки до прямой.

Пусть l - данная прямая с направляющим вектором, M - данная точка,

N - ее проекция на прямую l , тогда - искомое расстояние (рис. 8).

Если А - произвольная точка прямой l , то в прямоугольном треугольнике MNAгипотенуза MAи катет могут быть найдены. Значит,

е) Угол между прямой и плоскостью.

Пусть - направляющий вектор данной прямой l , - нормальный вектор данной плоскости б, - проекция прямой l на плоскость б (рис. 9).

Как известно, угол ц между прямой l и ее проекцией на плоскость б называется углом между прямой и плоскостью. Имеем

Приведем примеры решения метрических задач векторно-координатным методом.

В этой статье мы разберемся с проекцией вектора на ось и научимся находить числовую проекцию вектора. Сначала дадим определение проекции вектора на ось, введем обозначения, а также приведем графическую иллюстрацию. После этого озвучим определение числовой проекции вектора на ось, рассмотрим способы ее нахождения и покажем решения нескольких примеров, в которых требуется найти числовую проекцию вектора на ось.

Навигация по странице.

Проекция вектора на ось – определение, обозначение, иллюстрации, пример.

Начнем с общих сведений.

Под осью понимается прямая, для которой указано направление. Таким образом, проекция вектора на ось и проекция вектора на направленную прямую – это одно и то же.

Проекцию вектора на ось можно рассматривать в двух смыслах: геометрическом и алгебраическом. В геометрическом смысле проекция вектора на ось есть вектор, а в алгебраическом – число. Часто это разграничение явно не указывается, а понимается из контекста. Мы же не станем игнорировать это разграничение: будем использовать термин «», когда речь идет о проекции вектора в геометрическом смысле, и термин «», когда речь идет о проекции вектора в алгебраическом смысле (числовой проекции вектора на ось посвящен следующий пункт этой статьи).

Теперь переходим к определению проекции вектора на ось. Для этого не помешает повторить .

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве нам задана ось L и ненулевой вектор . Обозначим проекции точек А и В на прямую L соответственно как А 1 и В 1 и построим вектор . Забегая вперед скажем, что вектор - это проекция вектора на ось L .

Определение.

Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.

Проекцию вектора на ось L обозначают как .

Чтобы построить проекцию вектора на ось L , нужно из точек А и В опустить перпендикуляры на направленную прямую L – основания этих перпендикуляров дадут начало и конец искомой проекции .

Приведем пример проекции вектора на ось.

Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и задана некоторая точка . Изобразим радиус-вектор точки М 1 и построим его проекции на координатные оси Ox и Oy . Очевидно, ими являются векторы с координатами и соответственно.

Часто можно слышать о проекции одного вектора на другой ненулевой вектор или о проекции вектора на направление вектора . В этом случае подразумевается проекция вектора на некоторую ось, направление которой совпадает с направлением вектора (вообще существует бесконечно много осей, направления которых совпадают с направлением вектора ). Проекция вектора на прямую, направление которой определяет вектор , обозначается как .

Отметим, что если угол между векторами и острый, то векторы и сонаправлены. Если угол между векторами и тупой, то векторы и противоположно направлены. Если же вектор нулевой или перпендикулярен вектору , то проекция вектора на прямую, направление которой задает вектор , есть нулевой вектор.

Числовая проекция вектора на ось – определение, обозначение, примеры нахождения.

Числовой характеристикой проекции вектора на ось является числовая проекция этого вектора на данную ось.

Определение.

Числовая проекция вектора на ось – это число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Числовую проекцию вектора на ось L обозначают как (без стрелочки сверху), а числовую проекцию вектора на ось, определяемую вектором , - как .

В этих обозначениях определение числовой проекции вектора на прямую, направленную как вектор , примет вид , где - длина вектора , - угол между векторами и .

Итак, мы имеем первую формулу для вычисления числовой проекции вектора : . Эта формула применяется, когда известны длина вектора и угол между векторами и . Несомненно, эту формулу можно применять и тогда, когда известны координаты векторов и относительно заданной прямоугольной системы координат, однако в этом случае удобнее использовать другую формулу, которую мы получим ниже.

Пример.

Вычислите числовую проекцию вектора на прямую, направленную как вектор , если длина вектора равна 8 , а угол между векторами и равен .

Решение.

Из условия задачи имеем . Осталось лишь применить формулу, позволяющую определить требуемую числовую проекцию вектора:

Ответ:

Нам известно, что , где – скалярное произведение векторов и . Тогда формула , позволяющая найти числовую проекцию вектора на прямую, направленную как вектор , примет вид . То есть, мы можем сформулировать еще одно определение числовой проекции вектора на ось, которое эквивалентно определению, данному в начале этого пункта.

Определение.

Числовая проекция вектора на ось , направление которой совпадает с направлением вектора , - это отношение скалярного произведения векторов и к длине вектора .

Полученную формулу вида удобно применять для нахождения числовой проекции вектора на прямую, направление которой совпадает с направлением вектора , когда известны координаты векторов и . Покажем это при решении примеров.

Пример.

Известно, что вектор задает направление оси L . Найдите числовую проекцию вектора на ось L .

Решение.

Формула в координатной форме имеет вид , где и . Используем ее для нахождения требуемой числовой проекции вектора на ось L :

Ответ:

Пример.

Относительно прямоугольной системы координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы два вектора и . Найдите числовую проекцию вектора на ось L , направление которой совпадает с направлением вектора .

Решение.

По координатам векторов и можно вычислить скалярное произведение этих векторов: . Длина вектора по его координатам вычисляется по следующей формуле . Тогда формула для определения числовой проекции вектора на ось L в координатах имеет вид .

Применим ее:

Ответ:

Теперь давайте получим связь между числовой проекцией вектора на ось L , направление которой определяет вектор , и длиной проекции вектора на ось L . Для этого изобразим ось L , отложим векторы и из точки, лежащей на L , опустим перпендикуляр из конца вектора на прямую L и построим проекцию вектора на ось L . В зависимости от меры угла между векторами и возможны следующие пять вариантов:

В первом случае очевидно, что , следовательно, , тогда .

Во втором случае в отмеченном прямоугольном треугольнике из определения косинуса угла имеем , следовательно, .

В третьем случае очевидно, что , а , следовательно, и .

В четвертом случае из определения косинуса угла следует, что , откуда .

В последнем случае , следовательно, , тогда
.

Следующее определение числовой проекции вектора на ось объединяет в себе полученные результаты.

Определение.

Числовая проекция вектора на ось L , направленную как вектор , это

Пример.

Длина проекции вектора на ось L , направление которой задает вектор , равна . Чему равна числовая проекция вектора на ось L , если угол между векторами и равен радиан.

а. Проекцией точки А на ось PQ (рис. 4) называется основание а перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную ось. Та ось, на которую мы проектируем, называется осью проекций.

Ь. Пусть даны две оси и вектор А В, указанные на рис. 5.

Вектор началом которого служит проекция начала и концом - проекция конца данного вектора, называется проекцией вектора А В на ось PQ, Записывается это так;

Иногда указатель PQ внизу не пишется, это делается в тех случаях, когда кроме PQ нет другой осиг на которую можно было бы проектировать.

с. Теорема I. Величины векторов, лежащих на одной оси, относятся как величины их проекций на любую ось.

Пусть даны оси и векторы, указанные на рис, 6. Из подобия треугольников видно, что длины векторов относятся, как длины их проекций, т. е.

Так как векторы на чертеже направлены в разные стороны, то величины их имеют различный внак, следовательно,

Очевидно, величины проекций также имеют различный знак:

подставляя (2) в (3) в (1), получим

Меняя знаки на обратные, получим

Если векторы будут одинаково направлены, то будут одного направления и их проекции; в формулах (2) и (3) знаков минус не будет. Подставляя (2) и (3) в равенство (1), мы сразу получим равенство (4). Итак, теорема доказана для всея случаев.

d. Теорема II. Величина проекции вектора на любую ось равна величине вектора, умножен» ной на косинус угла между осью проекций и осью вектора, Пусть даны оси вектор как указано на рис. 7. Построим вектор одинаково направленный со своей осью и отложенный, например, от точки пересечения осей. Пусть длина его равна единице. Тогда и величина его

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или (нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси).

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть
а x = х к − x н.
Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,

отрицательной, если величина х к меньше величины х н

и равной нулю, если х к равно х н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а x = а Cos α

то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где - координаты вектора.

Скалярное произведение векторов

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ [- в конечномерном векторном пространстве определяется как сумма произведений одинаковых компонент перемножаемых векторов .

Напр., С. п. в. a = (a 1 , ..., a n ) и b = (b 1 , ..., b n ):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n